Figuras geométricas, ángulos y simetría: ¿qué pieza cierra el piso?

Mira este piso. Lo estoy armando en mi taller de mosaicos… y se me perdió una pieza. Tengo tres candidatas para tapar el hueco: un círculo, un pentágono y un hexágono. ¿Cuál crees que cierra el piso sin dejar huecos y sin encimarse? Piénsalo, y dilo en voz alta.

Guárdate tu respuesta. Primero vamos a armarlo todo con clavos y ligas, y al final lo comprobamos. Soy Tere, mosaiquera de Puebla. Y todo lo que necesito para hacer un piso está en el libro Nuestros saberes de cuarto grado, de la página cien a la ciento cuatro. Son cinco páginas con palabras que suenan complicadas: figuras, vértices, ángulos, simetría… Pero tengo buenas noticias: todas caben en un tablero.

Se llama geoplano, y aparece en la página ciento tres. El geoplano es un tablero con clavos que sobresalen de la superficie. Así queda una cuadrícula de puntos, donde se colocan ligas para formar figuras. Cada clavo es un punto. Y si estiro una liga entre dos clavos… ¡nace una línea!

El libro dice que una línea es un trazo, recto o curvo, sin separaciones: una marca continua. Ahora fíjate en los clavos. Entre uno y otro hay siempre la misma distancia: dos, dos, dos, dos. A eso se le llama puntos equidistantes: puntos que están a la misma distancia unos de otros. Y si pongo clavos en círculo, todos quedan a la misma distancia del centro.

¡Pura equidistancia! Ahora sí, a armar figuras. Las figuras geométricas son formas planas, marcadas por líneas rectas o curvas. Con tres clavos y una liga hago un triángulo. Tiene tres lados y tres ángulos.

Cada pedazo recto de liga, entre dos clavos, es un lado. Uno, dos, tres. Y cada clavo, donde se encuentran dos lados, se llama vértice. Uno, dos, tres. ¡Tres lados y tres vértices!

Con cuatro clavos sale el cuadrado: cuatro lados iguales y cuatro esquinas rectas. Si estiro la liga hacia un lado, tengo un rectángulo: cuatro ángulos rectos y dos pares de lados de diferente longitud. El libro también le llama paralelogramo. Y algo que el libro no dice: el cuadrado también es un rectángulo, pero uno muy especial, con los cuatro lados iguales. Con cinco clavos, un pentágono: cinco lados y cinco ángulos.

Con seis, un hexágono: seis lados y seis ángulos. ¿Te fijas? En cualquier figura, el número de lados es igual al número de vértices. Un cuadrilátero tiene cuatro vértices; un octágono, ocho; y un decágono, diez. Pero cuidado: no todos los lados son rectos.

El círculo tiene un lado curvo, y ninguna esquina. Los vértices también están en los cuerpos. En un cubo, un vértice es la esquina donde se juntan tres caras. ¡Y un cubo tiene ocho! Ahora, la abertura.

Cuando dos líneas comparten un punto, el vértice, se forma un ángulo. Las líneas son los lados del ángulo. Un ángulo tiene tres cosas: lados, vértice y abertura. Mira cómo abro mis ligas, como unas tijeras: mientras más se abren, más grande es el ángulo. La abertura se mide en grados, y el instrumento para medirla es el transportador.

Se mide partiendo de un lado horizontal, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Pongo el centro en el vértice, el cero sobre el lado horizontal… y leo dónde cruza el otro lado: ¡sesenta grados! Ojo con las dos escalas del transportador: se empieza siempre en el cero que queda sobre tu lado horizontal. Y si abro hasta formar la esquina de un cuadrado, son noventa grados: un ángulo recto. Un descuidito del libro: en la página ciento cuatro dice que cada vértice tiene tres ángulos externos.

Pero al prolongar un lado sale uno, como el ángulo d del dibujo, y al prolongar el otro lado sale otro igualito. Son dos, no tres. ¡Y llegamos al mosaico! Es una composición de figuras que cubren un espacio, sin que una tape a otra y sin dejar huecos. Como el piso de una casa, o un rompecabezas.

Cuando las figuras que se repiten son siempre las mismas, en matemáticas se le llama teselado. Ahora sí, el misterio del piso. ¿Y si tapo el hueco con el círculo? Mira: no importa cómo lo acomode, siempre quedan huecos entre las piezas. ¿Y con el pentágono?

Tres pentágonos se juntan en una esquina… y queda un huequito. Y si meto un cuarto, ¡se encima! ¡Y con el hexágono! Tres hexágonos se abrazan en cada esquina, y no sobra ni falta nada. La razón está en los ángulos.

Cada esquina del hexágono mide ciento veinte grados, y tres por ciento veinte son trescientos sesenta: ¡la vuelta completa! Con el cuadrado pasa igual: cuatro esquinas de noventa grados dan la vuelta completa. Y con el triángulo, seis esquinas de sesenta. Por eso estas tres figuras, solitas, cubren el piso sin huecos. Y cuando se mezclan figuras, el mosaico se vuelve más complejo, como el de estrellas de la página ciento tres.

Y lo que hace bonito a un mosaico es la simetría. Según el libro, es cuando una figura se refleja de forma exacta respecto a un centro, un eje o un plano. Mira esta mariposa. Si trazo una línea por la mitad, esa línea es el eje de simetría: una línea imaginaria que forma dos mitades iguales, pero con orientaciones diferentes. Si doblo la mariposa por el eje, las mitades coinciden.

Y fíjate: cada punto está a la misma distancia del eje que su reflejo. ¿Te acuerdas de los puntos equidistantes? Aquí vuelven a aparecer. A esto se le llama reflexión. En la página cien, el libro habla de la luz que rebota en una superficie lisa, como el agua que refleja el Taj Mahal.

Y en el recuadro Profundicemos, de puntos que pasan al otro lado de una línea. Es la misma idea: un espejo. El eje de simetría puede estar dentro de la figura, o afuera, como cuando una figura y su reflejo están separadas. Hay otra clase: la simetría rotacional. La figura gira menos de una vuelta completa, alrededor de un punto, y coincide con la figura inicial.

Mira este triángulo de tres lados iguales. Lo giro un tercio de vuelta… ¡coincide! Otro tercio… ¡coincide! Y el tercero lo regresa a su lugar. Y está la simetría central: la figura gira alrededor de un punto fijo, que puede estar dentro o fuera de ella.

Estos dos hexágonos, con el punto O en medio: si giro uno media vuelta alrededor de O, ¡cae justo sobre el otro! Como en la rotacional también hay un punto fijo, mucha gente las confunde, y por eso el libro lo aclara. ¡Y con todo esto ya puedo armar mi piso! Empiezo con una sola loseta… la repito… la giro… y la reflejo. Ángulos que suman la vuelta completa, ejes de simetría, figuras sin huecos… ¡Todo lo de estas cinco páginas está en el piso de mi taller!

¡Ahora te toca a ti! Eres el inspector de losetas, y tengo cuatro pruebas. Contesta en voz alta antes de que se recoja la cinta. Prueba uno. Mira la figura de la pared: ¿cuántos vértices tiene?

¿A, seis? ¿B, ocho? ¿O C, diez? ¡Correcto, la B! Tiene ocho vértices, porque el número de lados siempre es igual al número de vértices.

Prueba dos. Este ángulo parte del cero, sobre el lado horizontal. ¿Cuánto mide? ¿A, treinta grados? ¿B, ciento veinte?

¿O C, sesenta? ¡Exacto, la C! Sesenta grados. La otra escala daría ciento veinte, pero esa empieza del otro lado. Prueba tres.

¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo con los tres lados iguales? ¿A, tres? ¿B, uno? ¿O C, seis? ¡Correcto, la A!

Tres ejes: uno por cada vértice, que pasa por el lado de enfrente. Prueba cuatro, la del piso. Si uso una sola figura, ¿con cuál NO puedo cubrir el piso sin dejar huecos? ¿A, el cuadrado? ¿B, el triángulo?

¿O C, el pentágono? ¡Exacto, la C! El pentágono deja huecos. ¿Y la pieza que le faltaba a mi piso? ¡El hexágono!

¿Cuántas acertaste? Si fallaste alguna, regresa a esa parte del video y vuelve a intentarlo. Ahora, una misión en familia. Armen su propio geoplano con una tabla gruesa o cartón firme, clavos o tachuelas con ayuda de una persona adulta, y ligas de colores. Formen las cinco figuras del libro y cuenten sus lados y sus vértices.

Luego salgan a cazar simetrías: una mariposa, un azulejo, su cara en el espejo. Si quieres saber más, revisa los enlaces en la descripción de este video. Si te gustó, dale like y suscríbete. Y si quieres seguir con las matemáticas, mira nuestro video de escala y plano cartesiano, donde le damos órdenes a un dron. Sigue disfrutando de la experiencia de aprender.

¡Nos vemos hasta la próxima!